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[Maxima-commits] Maxima, A Computer Algebra System branch master updated. e26f57e78db45057a8221a89e7d1c3aa4b956a7d
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From: Mario R. R. <rio...@us...> - 2011-08-30 14:40:16
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This is an automated email from the git hooks/post-receive script. It was
generated because a ref change was pushed to the repository containing
the project "Maxima, A Computer Algebra System".
The branch, master has been updated
via e26f57e78db45057a8221a89e7d1c3aa4b956a7d (commit)
via af7dbdc25ae8974d044f935210c0eedad8a43f7e (commit)
from c1ca353c98883043d8c27c29e41b451025b66582 (commit)
Those revisions listed above that are new to this repository have
not appeared on any other notification email; so we list those
revisions in full, below.
- Log -----------------------------------------------------------------
commit e26f57e78db45057a8221a89e7d1c3aa4b956a7d
Merge: c1ca353 af7dbdc
Author: Mario Rodriguez <rio...@us...>
Date: Tue Aug 30 16:42:25 2011 -0400
Merge branch 'primeros_pasos'
commit af7dbdc25ae8974d044f935210c0eedad8a43f7e
Author: Mario Rodriguez <rio...@us...>
Date: Tue Aug 30 16:41:42 2011 -0400
More functions in combinatorics section
diff --git a/doc/tutorial/es/max.tex b/doc/tutorial/es/max.tex
index 2059212..909dcfb 100644
--- a/doc/tutorial/es/max.tex
+++ b/doc/tutorial/es/max.tex
@@ -972,54 +972,118 @@ Ya hemos visto el c
\end{Verbatim}
$$25852016738884976640000\leqno{\tt (\%o1)}$$
+Esto nos da el número de ordenaciones diferentes que se pueden hacer con $n$ objetos; si queremos generarlas podemos hacer uso de la función \verb|permutations|\index{permutations},
+
+\begin{Verbatim}
+(%i2) permutations([1,2,3]);
+\end{Verbatim}
+$$\left \{\left[ 1 , 2 , 3 \right] , \left[ 1 , 3 , 2 \right] ,
+ \left[ 2 , 1 , 3 \right] , \left[ 2 , 3 , 1 \right] , \left[ 3 , 1
+ , 2 \right] , \left[ 3 , 2 , 1 \right] \right \}\leqno{\tt (\%o2)}$$
+
+Cuando se trabaja con factoriales, la función \verb|minfactorial|\index{minfactorial} puede ayudarnos a simplificar algunas expresiones,
+
+\begin{Verbatim}
+(%i3) n!/(n+2)!;
+\end{Verbatim}
+$${{n!}\over{\left(n+2\right)!}}\leqno{\tt (\%o3)}$$
+\begin{Verbatim}
+(%i4) minfactorial (%);
+\end{Verbatim}
+$${{1}\over{\left(n+1\right)\,\left(n+2\right)}}\leqno{\tt (\%o4)}$$
+
El cálculo del número de variaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$, $VR_m^n = m^n$, no necesita de ninguna función especial,
\begin{Verbatim}
-(%i2) /* VR de 17 tomados de 4 en 4 */
+(%i5) /* VR de 17 tomados de 4 en 4 */
17^4;
\end{Verbatim}
-$$83521\leqno{\tt (\%o2)}$$
+$$83521\leqno{\tt (\%o5)}$$
Sin embargo, para calcular el número de variaciones sin repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$,
$V_m^n = m!/(m-n)!$, debemos hacer uso de la función \verb|permutation|\index{permutation} definida en el módulo \verb|functs|, que tendremos que cargar en memoria previamente,
\begin{Verbatim}
-(%i3) load("functs")$
-(%i4) /* V de 17 tomados de 4 en 4 */
+(%i6) load("functs")$
+(%i7) /* V de 17 tomados de 4 en 4 */
permutation(17,4);
\end{Verbatim}
-$$57120\leqno{\tt (\%o4)}$$
+$$57120\leqno{\tt (\%o7)}$$
Nótese que podemos calcular $P_{23}$ con esta misma función, sin llamar al factorial,
\begin{Verbatim}
-(%i5) /* permutaciones de 23 elementos, otra vez */
+(%i8) /* permutaciones de 23 elementos, otra vez */
permutation(23,23);
\end{Verbatim}
-$$25852016738884976640000\leqno{\tt (\%o5)}$$
+$$25852016738884976640000\leqno{\tt (\%o8)}$$
-El número de combinaciones de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$, $C_m^n = V_m^n / P_n$, se puede calcular con la función \verb|combination|\index{combination}, también definida en el paquete de funciones \verb|functs|,
+El número de combinaciones de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$, $C_m^n = V_m^n / P_n$, se puede calcular con la función \verb|binomial|\index{binomial},
\begin{Verbatim}
-(%i5) /* combinaciones de 30 elementos, tomados de 5 en 5 */
- combination(30,5);
+(%i9) /* combinaciones de 30 elementos, tomados de 5 en 5 */
+ binomial(30,5);
\end{Verbatim}
-$$142506\leqno{\tt (\%o5)}$$
+$$142506\leqno{\tt (\%o9)}$$
El número de permutaciones de $n$ elementos, con repeticiones $a_1, \ldots, a_k$,
$$
P_n^{a_1, \ldots, a_r} = \frac{(a_1+ \ldots + a_r)!}{a_1! \cdot \ldots \cdot a_r!},
$$
-siendo $a_1+ \ldots + a_r = n$, se calcula con la función \verb|multinomial_coeff|\index{multinomial\_coeff },
+siendo $a_1+ \ldots + a_r = n$, se calcula con la función \verb|multinomial_coeff|\index{multinomial\_coeff},
\begin{Verbatim}
-(%i6) /* permutaciones con repetición de 5 elementos,
+(%i10) /* permutaciones con repetición de 5 elementos,
con repeticiones 2, 2 y 1 */
multinomial_coeff(2,2,1);
\end{Verbatim}
-$$30\leqno{\tt (\%o6)}$$
+$$30\leqno{\tt (\%o10)}$$
+
+La función \verb|stirling1|\index{stirling1} calcula el número de Stirling de primera especie, $s(n,k)$, que se define de la forma
+\[
+(-1)^{n-k} \cdot s(n,k) = \mbox{Card} \{\sigma | \sigma \mbox{ es permutación de } \{1, \ldots, n\} \land \sigma \mbox{ tiene } k \mbox{ ciclos}\}
+\]
+
+\begin{Verbatim}
+(%i11) stirling1(5,2);
+\end{Verbatim}
+$$-50\leqno{\tt (\%o11)}$$
+
+Por otro lado, la función \verb|stirling2|\index{stirling2} calcula el número de Stirling de segunda especie, $S(n,k)$, que se define de la forma
+ \[
+S(n,k) = \mbox{Card} \{\pi | \pi \mbox{ es partición de } \{1, \ldots, n\} \land \mbox{Card}(\pi) = k \}
+\]
+
+\begin{Verbatim}
+(%i12) stirling2(3,2);
+\end{Verbatim}
+$$3\leqno{\tt (\%o12)}$$
+
+Esto es, hay 3 particiones de $\{1,2,3\}$ formadas por dos subconjuntos, las cuales podemos obtener invocando la función
+\verb|set_partitions|\index{set\_partitions},
+
+\begin{Verbatim}
+(%i13) set_partitions ({1,2,3}, 2);
+\end{Verbatim}
+$$\left \{\left \{\left \{1 \right \} , \left \{2 , 3 \right \}
+ \right \} , \left \{\left \{1 , 2 \right \} , \left \{3 \right \}
+ \right \} , \left \{\left \{1 , 3 \right \} , \left \{2 \right \}
+ \right \} \right \}\leqno{\tt (\%o13)}$$
+
+El número de Bell, que calculamos con la función \verb|belln|\index{belln} es el número total de particiones que admite un conjunto finito,
+\[
+B(n) = \sum_{k=1}^{n} S(n,k).
+\]
+
+\begin{Verbatim}
+(%i14) /* número de particiones en un conjunto de cardinalidad 3 */
+ belln(3);
+\end{Verbatim}
+$$5\leqno{\tt (\%o14)}$$
+
+En relación con la combinatoria, véanse también las secciones \ref{conjuntos} y \ref{grafos}, sobre conjuntos y grafos, respectivamente.
+
-En relación con la combinatoria, véase también la Sección~\ref{grafos} sobre grafos.
@@ -1717,6 +1781,7 @@ Para m
\section{Conjuntos}
+\label{conjuntos}
Se define a continuación un conjunto mediante la función \verb|set|\index{set},
\begin{Verbatim}
@@ -1859,7 +1924,15 @@ Por
, y \right] \right \}\end{array} \leqno{\tt (\%o16)}
\]
+Ya por último, el conjunto de las partes de un conjunto, o conjunto potencia, lo podemos obtener con la función \verb|powerset|\index{powerset}
+\begin{Verbatim}
+(%i17) powerset({1,a,sqrt(2)});
+\end{Verbatim}
+$$\left \{\left \{ \right \} , \left \{1 \right \} , \left \{1 ,
+ \sqrt{2} \right \} , \left \{1 , \sqrt{2} , a \right \} , \left \{1
+ , a \right \} , \left \{\sqrt{2} \right \} , \left \{\sqrt{2} , a
+ \right \} , \left \{a \right \} \right \}\leqno{\tt (\%o17)}$$
-----------------------------------------------------------------------
Summary of changes:
doc/tutorial/es/max.tex | 103 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------
1 files changed, 88 insertions(+), 15 deletions(-)
hooks/post-receive
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Maxima, A Computer Algebra System
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