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  Diff1 10 Topologie

Menge der Häufungspunkte

Satz:
  1. Die Menge A' aller Häufungspunkte von A ist abgeschlossen.
  2. \overline{A} = A \cup A'. Insbesondere ist A genau dann abgeschlossen, wenn A' \subseteq A

Beweis:
(1) Wir zeigen zuerst, dass A genau dann abgeschlossen ist, wenn A' \subseteq A

\;\;\;\;\;(\Rightarrow ) Sei A' \subseteq A und b \in \mathbb R\setminus A. Dann ist b kein Häufungspunkt von A, das heißt es existiert eine Umgebung von U von b mit U \cap A = \emptyset bzw. U \subseteq \mathbb R\setminus A. Also ist \mathbb R\setminus A offen.

\;\;\;\;\;(\Leftarrow ) Sei A abgeschlossen, das heißt \mathbb R\setminus A ist offen. Sei b \in \mathbb R\setminus A. Dann gibt es eine Umgebung U von b mit U \subseteq \mathbb R\setminus A, das heißt U \cap A = \emptyset und a ist kein Häufungspunkt von A. Folglich A' \subseteq A.

(2) Wir zeigen als Nächstes 1. Sei a ein Häufungspunkt von A', das heißt in jeder offenen punktierten Umgebung U \setminus\{a\} von a liegt ein Punkt d aus A'. Da d Häufungspunkt von A und U\setminus\{a\} Umgebung von d ist, gilt (U\setminus\{a\})\cap A \neq \emptyset . Also A'' = (A')' \subseteq A', und A' ist abgeschlossen.

(3) Der Beweis, dass A \cup B' ebenfalls abgeschlossen und damit gleich \overline B ist, bleibt als Übung. \quad\square

Satz:
Ist (X, \mathcal O) ein topologischer Raum und \mathcal F das System seiner abgeschlossenen Mengen, so gilt für A\subset X:
  1. Der Abschluss \bar A ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält, und es ist \bar A = \bigcap_{A\subset F\in\mathcal F}F.
  2. Das Innere \overset{\circ}{A} ist die größte offene Menge die in A enthalten ist, und es ist \overset{\circ}{A} =\bigcup_{A\supset O\in\mathcal O}O.
  3. Für den Rand gilt: \partial A =\bar A\setminus \overset{\circ}{A}.



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